matematika diskrit

kelompok : 1. Ahmad Hafifi

                     2. Mawas Jiwa Segara

pembuktian :

LOGIKA

 

Logika merupakan study penalaran (reasoning). Pelajaran logika di fokuskan pada hubungan pernyataan – penyataan (statements).  Contoh pernyataan  :

Semua anak sekolah memakai rok

Setiap pemakai rok  adalah anak perempuan

Jadi, semua anak sekolah adalah anak perempuan

LOGIKA PROPOSISI

Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat di sebut nilai kebenaran.

Contoh :

–          Setelah hari sabtu adalah hari minggu

–          Surabaya adalah ibukota Indonesia

–          Hari ini hari apa?

–          Silahkan keluar ruangan

Kesimpulan :

–          Kalimat pertama  dan kedua adalah kalimat yang bernilai benar dan salah. Dengan kata lain statemen pertama dan kedua dapat di beri nilai kebenaran.

–          Kalimat ketiga dan keempat adalah kalimat yang tidak dapat di tetapkan sebagai benar atau salah, atau statement tersebut tidak dapat diberi nilai kebenaran.

Jika statemen yang tidak dapat di tetapkan benar atau salah tapi dengan cara tertentu dapat di ubah menjadi statemen benar atau salah maka statemen tersebut di namakan sebagai Kalimat Terbuka. Kalimat terbuka juga kadang disebut fungsi proposisi.

Contoh :       

              – Negara itu adalah negara miskin

– (2 + 9 ) =+12

Kalimat terbuka pertama dapat di ubah menjadi kalimat benar atau salah jika variable Negara digantikan dengan nama Negara tertentu.

Kalimat terbuka kedua di ubah menjadi benar atau salah dengan mengganti nilai X dengan nilai tertentu.

OPERASI PADA PROPOSISI

Satu atau lebih proposisi dapat di operasikan membentuk proposisi baru dengan beberapa operasi logika.

  1. Negasi (~)

Negasi dari suatu prpposisi p adalah proposisi yang memiliki nilai kebenaran Kebalikan (ingkaran) dari nilai kebenaran proposisi p. negasi p dinotasikan sebagai : ~ p

 

Tabel Kebenaran

p ~p
T F
F T

T = True

F = False

 

 

  1. Konjungsi (^)

Jika ada proposisi p dan q maka konjungsi (di baca “and”).

 

Tabel kebenaran

p Q p^q
T T T
T F F
F T F
F F F
  1. Disjungsi (˅)
    Jika ada prposisi pdan qmaka konjungsi (dibaca “Atau”).

    Tabel Kebenaran

p Q p˅q
T T T
T F T
F T T
F F F
  1. Exclusive Or (⊕)
    Jika ada proposisi p dan q maka exclusive or (XOR).

    Tabel Kebenaran

p Q pq
T T F
T F T
F T T
F F F

Catatan : untuk membedakan pada XOR hanya jika salah satu bernilai True maka kesimulan TRUE

5. Implikasi (→)

Jika ada proposisi dan q maka implikasi (dibaca jika maka q).

Tabel Kebenaran

p Q pq
T T T
T F F
F T T
F F F

Keterangan :

Dalam implikasi p → q maka :

p disebut hipotesis/antesede/premis

q disebut konklusi/kesimpulan

 

Dalam Implikasi : p → q maka baik p maupun q keduanya adalah proposisi yang dapat bernilai benar atau salah.

Catatan :

–          p=”kamu belajar”, q=”kamu lulus ujian”

Disini terlihat hubungan kasualitas.

–          p=”1+1=2”, q=”Jakarta ibukota Indonesia”

Kalimat tersebut tidak logis tetapi dari sisi operasi implikasi

kalimat tersbut masih dapat diterima.

 

  1. Ekivalen Proposisi Majemuk
    Proposisi-proposisi tunggal dapat digabung menjadi proposisi gabungan disebut COMPOUND PROPOSITION (Komposisi Majemuk). Komposisi majemuk  ini dapat bernilai selalu benar atau selalu salah.
    Tautology       : Komposisi majemuk yang bernilai selalu benar, misal : p˅p
    Contradiction : Komposisi majemuk yang bernilai selalu salah, misal : p  p

    Tabel Kebenaran

p ~p p ˅ ~ p p  p
T F T F
F T T F

EKIVALEN (⇔)
Proposisi majemuk dinyatakan sebagai Ekivalen secara logika jika proposisi tersebut memiliki tabel kebenaran yang sama.
Contoh :
Ujilah Ekivalen ini benar.
~ (p ˅q) ⇔ ~p ^~q
Jawab :
Langkah 1 :
Buat dua kolom tabel kebenaran p dan q .

p q
T T
T F
F T
F F

Langkah 2 :
Tambahkan satu klom dan cari kebenaran ˅ .

p q p˅q
T T T
T F T
F T T
F F F

Langkah 3 :
Tambahkan satu kolom dan cari kebenaran ~(p˅q). Dengan membalik saja.

p q p˅q ~ (p˅q)
T T T F
T F T F
F T T F
F F F T

Langkah 4 :
Tambahkan dua kolom untuk ~p dan kolom ~q. isi kebenaranya.

p q p˅q ~ (p˅q) ~p ~q
T T T F F F
T F T F F T
F T T F T F
F F F T T T

Langkah 5 :
Tambahkan satu kolom yaitu kolom : ~p^~q

p q p˅q ~ (p˅q) ~p ~q ~ (p^q)
T T T F F F F
T F T F F T F
F T T F T F F
F F F T T T T

Kesimpulan : pada kolom ~(p˅q ) dan kolom ~p ∧ ~q memiliki kebenaran yang sama, jadi benar ekivalen.

HUKUM – HUKUM LOGIKA PROPOSISI

Hukum Identitas

˅ F ⇔ p

P ^ T ⇔ p

Hukum Null/dominasi

p ^ F ⇔ F

p  ˅ T ⇔ T

Hukum Negasi

P ˅ ~p ⇔ T

P ^  ~p ⇔ F

Hukum Idempoten

P ˅ p ⇔ p

P ^ p ⇔ p

Hukum Involusi (Negasi Ganda)

~(~p) ⇔ p

Hukum Penyerapan (arbsorbsi)

˅ (q) ⇔ p

^ (p ˅ q) ⇔ p

Hukum Komutatif

˅ ˅ p

^ ^

Hukum Asosiatif

(˅ r) ⇔ (˅ q) ˅ r

^ (^ ) ⇔ (^ q) ^ r

Hukum Distributif

˅ (^ r) ⇔ (˅ q) ^ (˅ r)

^ (˅ r) ⇔ (^ q) ˅ (^ r)

Hukum De Morgan

~(^ q) ⇔ ~˅ ~q

~(˅ q) ⇔ ~^ ~q

 

VARIAN PROPOSISI BERSYARAT

Ada tiga varian bersyarat yaitu konvers, invers, dan kontraposisi dari asal → q.

Konvers (kebalikan)    :      p

Invers                          : ~ → ~ q

Kontraposisi                : ~ → ~ p

 

Tabel Kebenaran

p q ~p ~q q p → ~ q → ~ p
T T F F T T T T
T F F T F T T F
F T T F T F F T
F F T T T T T T

 

BIKONDISIONAL (Bi-implikasi)

Bikondisional adalah proposisi majemuk “p jika hanya jika q” dan di lambangkan dengan  ↔ q

Table kebenaran

p q p ↔ q
T T T
T F F
F T F
F F T

INFERSE

Inferse adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi.

 

Modus Ponen atau Law Of  Detachment

q

p

Kesimpulan “q”

Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis p dan implikasi  benar, maka konklusi q benar.

 

Modus Tollen

q

q

Kesimpulan “~ p”

 

Silogisme Hipotesis

q

r

Kesimpulan“p r “

 

Silogisme Disjungtif

p  ˅q

p

Kesimpulan “q”

 

Simplifikasi

^ q

Kesimpulan “p”

 

Penjumlahan

p

Kesimpulan “p ˅q”

 

Konjungsi

p

q

Kesimpulan “^q”

 

Leave a Reply