kalkulus assignment 2 – artikel by Chaterin surya

Fungsi dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah “fungsi“, “pemetaan“, “peta“, “transformasi“, dan “operator” biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contohnya adalah sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Grafik contoh sebuah fungsi,
f ( x ) = ( 4 x 3 − 6 x 2 + 1 ) x + 1 3 − x {\displaystyle {\begin{aligned}&\scriptstyle \\&\textstyle f(x)={\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}}
Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1 dan 1,5

MACAM-MACAM FUNGSI

  1. FUNGSI LINEAR

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut fungsi linear

 

  1. FUNGSI KONSTAN

Misalkan f:A→B adalah fungsi di dalam A maka fungsi f disebut fugsi konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.

 

  1. FUNGSI IDENTITAS

Misalkan f:A→B adalah fungsi dari A ke B maka f disebut fungsi identitas jika dan hanya jika range f = kodomain atau f(A)=B.

 

  1. FUNGSI KUADRAT

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

 

Komposisi dan Operasi pada Fungsi
Jika f dan g dua fungsi maka jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali fg, hasil bagi
f/g dan perpangkatan fn adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa irisan dari
daerah asal f dan daerah asal g, dan dirumuskan sebagai berikut.

(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f – g)(x) = f (x) – g(x)
(f g)(x) = f (x) g(x)
(f / g)(x) = f (x) / g(x) asalkan g(x) ≠ 0

Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut.

Jika f dan g dua fungsi dengan daerah asal g merupakan daerah hasil f maka
komposisi g o f memenuhi
(g o f)(x) = g (f(x))

Contoh

Jika f(x) = x2 – 2x dan g(x) = x – 1, tentukan g o f dan f o g.

Penyelesaian:
(g o f)(x) = g (f(x))
= g (x2 – 2x)
= x2 – 2x – 1

(f o g)(x) = f (g(x))
= f (x – 1)
= (x – 1)2 – 2(x – 1)
= x2 – 2x + 1 – 2x + 2
= x2 – 4x + 3

Fungsi Invers
Di SMP, tentunya Anda telah belajar cara mengubah satuan dari derajat Celsius ke Fahrenheit, yaitu dengan menggunakan persamaan y = 9/5 x + 35. Bagaimana cara mengubah satuan dari Fahrenheit ke Celsius? Untuk mengetahuinya, Anda harus belajar fungsi invers. Apakah setiap fungsi selalu memiliki fungsi invers? untuk mengetahuinya, lakukan aktivitas matematika berikut.

 

Aktivitas Matematika

 

Lakukanlah kegiatan berikut bersama kelompok Anda.
Langkah ke-1

  1. Melengkapi tabel fungsi y = f(x)

Misalkan fungsi si f dari x ke y didefinisikan sebagai y= f(x), seperti Tabel 1. Salin dan lengkapilah Tabel 1. di buku tugas Anda.

Tabel 1. Fungsi y = f(x)

 

x (masukan) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y (keluaran) 0 2 4 6 8

 

  1. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran

Tukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut seperti Tabel 2, kemudian salin dan lengkapilah Tabel 2. di buku tugas Anda.
Tabel 2.

 

x (masukan) 0 2 4 6 8
y (keluaran) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

 

Coba Anda selidiki, apakah Tabel 2. merupakan fungsi dari y ke x? Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku tugas Anda. Langkah ke-2

 

  1. Melengkapi tabel fungsi s = g(r)

Misalkan fungsi g dari r ke s didefinisikan sebagai s = g(r), seperti Tabel 3. Salin dan lengkapilah Tabel 3. di buku tugas Anda.
Tabel 3. Fungsi s = g(r)

 

x (masukan) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y (keluaran) 9 4 1 0 1 4 9

 

  1. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran

Tukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut seperti Tabel 6.2, lalu salin dan lengkapi Tabel 6.4 di buku tugas Anda.
Tabel 4.

 

x (masukan) 9 4 1 0 1 4 9
y (keluaran) –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

 

Coba Anda selidiki, apakah Tabel 4. merupakan fungsi dari s ke r?
Tuliskan hasil penyelidikan Anda di buku tugas Anda.
Langkah ke-3
Dapatkah Anda menduga, fungsi yang bagaimana yang memiliki fungsi invers? Jawablah dengan cara menganalisis Tabel 1. sampai dengan Tabel 4.

 

Ingatlah :

 

Lambang –1 di dalam f–1 bukan berupa pangkat.

 

Jika fungsi f memetakan setiap xϵDf ke yϵRf maka balikan dari fungsi f mengembalikan unsur y tersebut ke unsur x semula. Proses pembalikan tersebut belum tentu menghasilkan fungsi baru. Jika f fungsi bijektif maka pembalikan tersebut menghasilkan fungsi baru. Akan tetapi, jika f bukan fungsi bijektif pembalikan itu hanya menghasilkan suatu relasi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut. Telah diketahui fungsi y = 2x seperti Gambar 12 merupakan fungsi bijektif.

Gambar 12. Fungsi bijektif.

Amati bahwa setiap dua unsur yang berbeda di dalam domain f dikawankan dengan dua unsur yang berbeda di dalam daerah kawan f. Sebagai contoh, x1 = 2 dan x2 = –2 dikawankan berturut-turut dengan y1 = 4 dan y2 = –4. Balikan dari fungsi ini akan menghubungkan dua unsur yang berbeda tersebut dengan dua unsur semula yang berbeda, yaitu 4 dengan 2 dan –4 dengan –2.
Balikan dari fungsi tersebut jelas sesuai dengan aturan fungsi, yang hanya membolehkan setiap unsur di dalam daerah asalnya dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur di dalam daerah hasil. Jadi, balikan dari fungsi f(x) = 2x merupakan fungsi. Lain halnya dengan fungsi y = x2 seperti Gambar 13. Fungsi ini bukan merupakan fungsi bijektif.

Gambar 13. Bukan fungsi bijektif.

Amati bahwa setiap unsur x dan –x di dalam domain f dikawankan dengan unsur y yang sama di dalam daerah kawan f. Contohnya, unsur 2 dan –2 keduanya dipetakan ke unsur yang sama, yaitu 4. Akibatnya, balikan dari fungsi ini menghubungkan 4 dengan dua unsur yang berbeda, yaitu 2 dan –2. Balikan dari fungsi ini jelas menyalahi aturan fungsi.
Jadi, balikan dari fungsi f(x) = x2 bukan merupakan fungsi, tetapi hanya relasi saja.
Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk umum fungsi invers? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.

 

Definisi 4 :

 

Misalkan, f merupakan fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf R.. Fungsi invers(fungsi balikan) f adalah f–1 jika dan hanya jika (f–1 ° f) (x) = x untuk setiap x di dalam D f dan (f–1 ° f) (x) = x untuk setiap x di dalam R f

 

Dari Definisi 6.4 tampak bahwa setiap xϵD f dipetakan oleh f ke f(x) dan f(x) oleh f–1 dikembalikan ke x. Demikian halnya untuk setiap xϵR f dipetakan oleh f–1 ke f–1(x) dan f–1 x) oleh f dikembalikan ke x. Dengan demikian, invers suatu fungsi invers menghasilkan fungsi asalnya, dituliskan (f–1)–1 = f. Dari uraian tersebut, Anda dapat menentukan invers suatu fungsi dengan langkah-langkah sebagai berikut.

  • Diketahui, y = f(x).
  • Selesaikan persamaan sehingga diperoleh x sebagai fungsi y atau x = f–1(y).
  • Ganti variabel y dengan x pada f–1(y) sehingga diperoleh f–1(x) = y sebagai fungsi invers dari y = f(x).

 

Contoh Soal 11 :

 

Tentukan invers dari fungsi berikut ini.
y = f (x) = 5x – 7
Kemudian, gambarkan grafik f (x) dan f–1 (x).
Penyelesaian :
y = 5x – 7 ↔ 5x = y + 7

x =

x = f-1 (y) =

 

Jadi, fungsi invers dari y = f (x) = 5x – 7 adalah f –1 (x) =  . Gambar grafik f (x) = 5x – 7 dan f–1 (x) =  tampak pada Gambar 14.

Gambar 14. Fungsi invers.

Amati Gambar 14. dengan saksama, bagaimana posisi grafik f(x) dan f–1(x) terhadap y = x. Apakah simetris?
Jika Anda amati grafik f (x) dan f–1 x) dengan saksama, tampak bahwa grafik f–1 x) simetris terhadap grafik f(x). Grafik f–1 x) diperoleh dari grafik f(x) dengan mencerminkannya terhadap garis y = x. Oleh karena itu, untuk mencari f–1 x) jika diketahui f (x) dapat pula dikerjakan dari persamaan f ° f–1 x) = x. Coba Anda selesaikan invers dari f(x) = 5x – 7 dengan menggunakan f ° f–1(x) = x.

 

Contoh Soal 12 :

 

  1. Diketahui f (x) = 3x2+ 4 dan

 

Periksalah apakah g merupakan balikan (invers) dari f.

  1. Tentukan fungsi invers dari

 

Pembahasan :

  1. Untuk menentukan apakah g fungsi invers f, periksalah apakah fungsi komposisi (g ° f) (x) = x dan (f ° g) (x) = x.(g ° f) (x) = g {f (x)} = g (3x2+ 4) =

 

(f ° g) (x) = f {g (x)} =
= x – 4 + 4 = x
Jadi, g merupakan balikan f sehingga f juga balikan g. Dengan kata lain, g = f–1 dan f = g–1 .

 

  1. y = f (x) = ↔y (2x–1) = 3x + 4

↔ 2yx – y = 3x + 4

↔ x (2y – 3) = y + 4

↔ 2yx – 3x = y + 4

↔ x =

↔ x = f–1 (y) =
Jadi, f–1 (x) =

 

One Response

Leave a Reply

You must be logged in to post a comment.